МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»
ДИСКРЕТНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР’Є ТА ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛІЗУ СИГНАЛІВ ІНСТРУКЦІЯ до лабораторної роботи № 1 з курсу “Цифрова обробка сигналів і зображень” для студентів спеціальностей 8.160102 “Захист інформації з обмеженим доступом та автоматизація її обробки” Затверджено на засiданнi кафедри "Захист інформації" Протокол № 2 вiд 6. 09. 2010 p. Львів 2010 Дискретне перетворення Фур’є та його застосування для спектрального аналізу сигналів: Інструкція до лабораторної роботи № 1 з курсу ”Цифрова обробка сигналів і зображень” для студентів спеціальності 8.160102 “Захист інформації з обмеженим доступом та автоматизація її обробки” / Укл. В.В. Хома, Я. Р. Совин - Львiв: Національний університет "Львівська політехніка", 2010. - 12 с. Укладачі: Хома В.В., професор, д.т.н. Совин Я. Р., доцент, к.т.н. Вiдповiдальний за випуск: Дудикевич В.Б., професор, д.т.н. Рецензент: Максимович В.М., професор, д.т.н. Горпенюк А.Я., доцент, к.т.н. Мета роботи – ознайомлення із математичнм апаратом опису сигналів у частотній області, змістом дискретного перетворення Фур’є та його застосуванням для спектрального аналізу реальних сигналів. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ Перетворення Фур’є та його використання для спектрального аналізу сигналів Перетворення Фур’є є основним інструментом аналізу сигналів у частотній області – так званого спектрального аналізу. З математичної точки зору опис сигналів у часовій області за допомогою часової функції
і в частотній області за допомогою спектральної густини
є ідентичним, однак сенс використання тієї чи іншої форми зумовлений певними вигодами при розв’язанні тієї чи іншої задачі. Зв’язок між
та
визначається парою інтегральних перетворень Фур’є: прямим
; (1) зворотним
. (2) Комплексна величина
містить інформацію про спектр, тобто вміст в аналізованому сигналі
конкретної частоти
, оскільки аналізуючий сигнал (ядро інтегрального перетворення) за формулою Ейлера
представляє собою нескінченний набір гармонічних сигналів. Якщо за допомогою прямого перетворення Фур’є здійснюється розклад сигналу на складові різних частот (аналіз), то природно, що зворотне перетворення забезпечує реконструкцію (синтез) сигналу
зі спектру шляхом підсумовування (інтегрування) всіх гармонік
, взятими із відповідними вагами
. Основні властивості перетворення Фур’є наведені в Додатку 1. Відомо, що періодичні сигнали
представляються рядом Фур’є у вигляді суми гармонічних складових, оскільки у цьому випадку в аналізованому сигналі виступає лише основна гармоніка
та її багатократні компоненти
. У показниковій формі ряд Фур’є має вигляд
. (3) Коефіцієнти ряду
є комплексними величинами і визначаються із співвідношення
(4) Сукупність коефіцієнтів ряду складає спектр періодичного сигналу. Спектр амплітуд
і спектр фаз
однозначно визначають сигнал
і показують, яку участь бере гармонічна складова кожної частоти в складі результуючого коливання. Часто обмежуються розглядом
який визначає енергетичні властивості сигналу, а
має відношення лише до форми сигналу. Дискретні сигнали
утворюється шляхом дискретизації (взяття вибірок) неперервного сигналу
з часовим інтервалом
. За теоремою Котельникова-Шеннона, частота вибірок
повинна принаймні удвічі перевищувати максимальну частоту у спектрі дискретизованого сигналу. Для дискретних сигналів пара інтегральних перетворень Фур’є (1) і (2) набуває вигляду (див. Додаток 2):
; (5)
. (6) де
- нормалізована частотою дискретизаціїї кругова частота. Враховуючи періодичний характер спектра
дискретизованого сигналу із періодом
(для нормованої кругової частоти
), у виразі (6) межі інтегрування з...